Las funciones periódicas que se presentan en problemas prácticos con frecuencia son bastante complicadas y es deseable representarlas en términos de funciones periódicas simples. Casi cualquier función periódica f(t) de periodo 2𝛑 que aparezca en las aplicaciones (por ejemplo, con relación a vibraciones) puede representarse por una serie trigonométrica la cual se denominará serie de Fourier de f.
Fórmulas de Euler para los coeficientes de Fourier
Si f(t) es una función periódica de periodo 2𝛑 que puede representarse por una serie trigonométrica
Suponiendo que la serie converge y que tiene a f(t) como su suma, se desea determinar los coeficientes an y bn de la serie trigonométrica correspondiente.
Determinando an
Al integrar ambos miembros se obtiene:
Si es posible realizar la integración término a término de la serie, se
obtiene
donde el primer termino del segundo miembro:
Al integrar término a término, el segundo miembro queda
y también
para todo m ∈ Z+
sabiendo que las integrales del segundo miembro son cero, consecuentemente
es decir,
Determinando ahora a1, a2, ...y b1, b2,...
se multiplica la ecuación principal por cos(mt), donde m ∈ Z+, luego se integra de -𝝿 a 𝝿:
La primera integral es cero, por lo tanto
por lo tanto
Para determinar b1, b2, ... se razona de manera análoga a lo anterior pero
ahora multiplicando
por sen(mt) , donde donde m ∈ Z+
Al escribir n en lugar de m, se obtienen las llamadas fórmulas de Euler
Los números dados por las formulas de Euler se denominan coeficientes de Fourier de
f(t). La serie trigonométrica
dados por las formulas de Euler, se denomina serie de Fourier de f(t).
Convergencia de la serie de Fourier
El propósito de la convergencia es determinar hasta que punto la serie de Fourier de una función es una representación valida de si misma.
Cuando la serie de Fourier S(t) de f(t) representa a f(t), se escribe:
f(t) = S(t)
Si la serie de Fourier no tiene la suma de f(t) o no converge, se escribe:
f(t)~S(t)
Teorema de Condición suficiente de convergencia puntual de
una serie de Fourier
Sea f(t) una función 2𝛑-periódica continua a trozos en el intervalo
[−𝛑 y 𝛑] y que tiene derivada por la izquierda y por la derecha en todo punto
de dicho intervalo. Entonces la serie de Fourier de f(t) converge y su suma es:
Otras formas de las series de Fourier
La forma canónica de las series de Fourier es la que se ha estado utilizando hasta el momento, donde la función en cuestión estaba definida sobre
el intervalo [−𝛑 y 𝛑]Serie de Fourier para una función de periodo 2L
En ocasiones es desea adaptar la forma de una serie de Fourier
a funciones periódicas de periodo p=2L>0 en el intervalo [−L y L]. Esto
se consigue gracias a un cambio de variable.
Sea f(t) una función periódica de periodo 2L. Para desarrollar en serie
de Fourier en [−L y L] se realiza un cambio de variable, de la forma:
luego,
definiendo,
La función g es una función periódica de x de periodo 2𝛑 ya que,
El desarrollo en serie de Fourier de la función g(x) es:
con coeficientes de Fourier
entonces, como x=(x/L)t, sustituyendo en las formulas de coeficiente de Fourier se obtiene:
De forma general, se escribe 𝑤0 = (x/L), por tanto
con
Series de Fourier de funciones pares e impares
El intervalo -𝛑 ≤t≤ 𝛑 tienen importantes ventajas a la hora de
aprovechar las propiedades simétricas de las funciones.
Una función g(t), definida en el intervalo [−L y L] con L>0 es una función par si g(-t)=g(t) para todo ∈ [−L y L]. En cambio, h es una función impar si h(-t) = -h(t) para todo ∈ [−L y L]. Las funciones cos(nt) son pares y las funciones sen(nt) son impares.
También sabemos que si g es par, entonces
El producto q = gh de una función par g y una función
impar h es impar, ya que,
Si f(t) es par, entonces el integrando f(t)sen((n𝛑t)/L) en:
es impar y bn =0. De igual forma, si f(t) es impar, entonces f(t)cos((n𝛑t)/L) es impar y an=0.
Teorema de Serie de Fourier de funciones pares e impares
Sea f una función 2L-periódica integrable de Riemann en [−L y L].
(i) Si f es par la serie de Fourier de f es una serie de Fourier de cosenos
donde los coeficientes 
se determinan a partir de la función f según las fórmulas
(ii) Si f es impar la serie de Fourier de f es una serie de Fourier de senos
cuyos coeficientes
Teorema Suma de funciones
Los coeficientes de Fourier de una suma f1 + f2 son las sumas de los
coeficientes de Fourier de f1 y f2 correspondientes.
Los coeficientes de Fourier de αf son el producto de α y los coeficientes
de Fourier de f correspondientes.
Serie de Fourier en notación compleja
Supongamos que la función f(t) satisface las condiciones suficientes de
desarrollabilidad en serie de Fourier. Entonces es posible representarla en [−T y T] mediante la serie del tipo
Aprovechando las fórmulas de Euler
y
hallamos con x=nt, que,
y
Sustituyendo ahora en la formula principal, tenemos que,
si denotamos,
entonces,
o equivalente a,
Esta es la llamada forma compleja de la serie de Fourier o serie
compleja de Fourier.
Determinando ahora la expresión de los coeficientes cn y c-n. Se sabe que:
y
también podemos escribir:
Para una función de periodo 2L, el razonamiento anterior da como resultado la serie compleja de Fourier:
